File 20: Fungsi Garis Singgung (The Slope Function)

File 13: Konstruksi garis singgung Lingkaran (Tangents to a Circle)

Workshop 3 – Fungsi Garis singgung (The Slope Function)

Persiapan
o   Buka file GeoGebra baru.
o   Tampilkan jendela aljabar, kotak input, dan sumbu koordinat (menu View).

Penggunaan Alat

Tangents
Cara: Klik titik atau garis, lalu klik lingkaran atau irisan kerucut atau fungsi

Petunjuk: Jangan lupa untuk membaca bantuan toolbar jika Anda tidak tahu cara menggunakan suatu alat.
                 Coba dulu semua alat-alat yang baru Anda kenali sebelum Anda memulai konstruksi.


Petunjuk
Pada kotak input tulislah f(x)=x^2/2+1

Buatlah titik pada kurva f. Titik ini bernama A.
Petunjuk: Pindahkan titik A untuk memeriksa apakah itu benar-benar terletak pada kurva f.

Buatlah garis singgung fungsi f di titik A. garis singgung ini bernama a.


Pada kotak input tulislah slope=Slope[a] untuk menentukan kemiringan/gradien garis singgung.

                 Pada kotak input tulislah S=(x(A),Slope) untuk memilih titik A dan menghasilkan garis singgung terhadap f di
                 $latex x = x(A)$. Diperoleh titik bernama S.
                 Petunjuk: $latex x(A)$menyatakan absis (nilai$latex x$) dari titik A.

Hubungkan titik A dan S.



Tugas:
(a) Pindahkan titik A sepanjang grafik fungsi lalu perkirakan tentang bentuk jejak yang bersesuaian dengan fungsi garis
        singgung.
(b) Tentukan persamaan fungsi garis singgung. Tunjukkan jejak titik S dengan menggerakkan titik A untuk memeriksa
        dugaan Anda.
        Petunjuk: klik kanan pada titik S lalu pilih Trace On.
(c) Tentukan persamaan fungsi garis singgung yang dihasilkan. Masukkan persamaan fungsi itu pada kotak input lalu
        gerakkan titik A. Jika benar maka jejak titik S akan berjalan sepanjang grafik fungsi itu.
(d) Ubahlah persamaan fungsi f semula untuk menghasilkan hal (masalah) yang lain.

-->

Workshop 2 - Konstruksi Garis Singgung Lingkaran (Tangents to a Circle)

Berikut ini adalah cara membuat garis singgung terhadap lingkaran dari sebuah titik di luar lingkaran.


Bagaimana jika mouse dan touchpad tidak berfungsi?
Bayangkan bila salah satu atau kedua alat tersebut tidak berfungsi pada saat Anda sedang membuat file GeoGebra untuk pembelajaran besok. Bagaimanakah cara agar file konstruksi tersebut dapat diselesaikan?
GeoGebra menawarkan masukan (input) aljabar dan perintah (commands), selain alat-alat geometri. Setiap alat memiliki perintah yang bersesuaian, oleh karena itu dapat diterapkan dengan tanpa menggunakan mouse.

Catatan:
GeoGebra menawarkan lebih banyak perintah daripada alat-alat geometri. Oleh karena itu, tidak setiap perintah memiliki alat geometri yang bersesuaian.

Tugas:
Periksalah daftar perintah sebelah kotak input dan carilah perintah yang sesuai dengan alat yang sudah Anda kenal.

Tentu saja konstruksi garis singgung lingkaran dapat dilakukan dengan menggunakan alat-alat konstruksi geometris. Tetapi kali ini konstruksinya akan dibuat dengan hanya menggunakan input keyboard.




Persiapan
o  Buka file GeoGebra baru.
o  Tampilkan jendela aljabar dan kotak input, serta sumbu koordinat (menu View).

Petunjuk
A=(0,0) Membuat titik A.
                          Petunjuk: Tanda kurung tutup sudah disediakan oleh GeoGebra.
(3,0) Membuat titik B.
                          Petunjuk: Jika nama objek tidak dituliskan maka penamaan dilakukan oleh GeoGebra secara alfabetis.
Circle[A,B]  Membuat lingkaran berpusat di A dan melalui B.
                           Petunjuk: GeoGebra menamai kurva ini dengan c.
                           Lingkaran adalah objek yang bergantung pada objek lain (dependent object).
Catatan:
                           GeoGebra membedakan antara objek bebas (free object) dan objek yang bergantung pada objek lain
                           (dependent object). Objek bebas dapat langsung diubah (modified) baik dengan menggunakan
                           mouse maupun keyboard, sedangkan objek dependen beradaptasi dengan perubahan objek induknya.
                           Dengan demikian, tidak terkait langsung dengan objek yang mengawalinya.

Tugas 1:
                           Aktifkan Move dan klik ganda objek pada jendela aljabar untuk mengubah pernyataan aljabar
                           dengan menggunakan keyboard. Tekan tombol Enter setelah Anda selesai.

                           Tugas 2:
                           Anda dapat menggunakan tombol panah untuk memindahkan objek bebas dengan cara yang lebih terkendali.
                           Aktifkan Move dan pilih objek (misalnya, titik yang bebas). Tekan tombol panah ke atas/bawah atau ke kiri/
                            kanan panah untuk memindahkan objek ke arah yang diinginkan.

(5,4) Membuat titik C.
Segment[A,C]  Membuat ruas garis AC. Ruas garis ini bernama s.
Midpoint[s] Membuat titik tengah pada ruas garis AC. Titik ini bernama D.
Circle[D,C] Membuat lingkaran berpusat di D dan melalui C. lingkaran ini bernama d.
Intersect[c,d] Membuat titik potong kedua lingkaran. Titik ini bernama E dan F.
Line[C,E] Membuat garis singgung melalui titik C dan E.
Line[C,F] Membuat garis singgung melalui titik C dan F.

Memeriksa dan memperkaya konstruksi
o  Lakukan uji seret (drag-test) untuk memeriksa kebenaran konstruksi.
o  Ubah sifat-sifat (properti) objek untuk memperkaya penampilan konstruksi (misalnya warna, ketebalan garis, dll).
o  Simpan konstruksi.

-->

Fungsi, Garis Singgung, dan Turunannya

Jelas, slider adalah unsur pokok dalam suatu konstruksi. Dengan menggunakan slider, bagaimanakah cara membuat konstruksi untuk fungsi sukubanyak (polinom) berderajat empat yang juga menampilkan garis singgung dan grafik fungsi dari turunannya? Adakah hubungan antara jejak (trace) titik pada grafik fungsi dengan jejak titik pada grafik turunannya?

Petunjuk:

1.        Buka Geogebra, tampilkan jendela Aljabar dan sumbu koordinat.

2.      Pastikan penamaan hanya untuk titik saja. Klik Options>Labeling>New Points Only.

3.      Karena diperlukan 5 buah koefisien maka buatlah 5 buah slider, yaitu a, b, c, d, dan e, dengan memasukkan nilai 1 pada tiap slider itu.

4.      Buatlah grafik fungsi f dengan menuliskan f(x) = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e pada kotak Input.

5.      Gerakkan tiap slider dan amati apa yang terjadi.

6.      Buatlah titik A pada kurva f dengan menggunakan New Point.

7.      Buatlah garis singgung pada kurva f  di titik A dengan menggunakan Tangents.

8.      Gerakkan titik A dan tiap slider untuk mengamati apa yang terjadi.

9.      Tunjukkan kemiringan (gradien, m) garis singgung dengan menggunakan Slope.

10.  Pada kotak Input, buatlah titik D dengan koordinat (x(A), m). Dalam hal ini, x(A) berarti absis titik A dan m adalah gradien garis singgung kurva f.

11.     Agar tampak mencolok, ganti warna titik D dengan merah. Klik kanan pada D>Object Properties>Color, lalu klik Basic>centang kotak Show Trace.

12.   Cobalah gerakkan titik A sepanjang kurva f, apa yang terjadi pada titik D?

13.  Sekarang tuliskan f’(x)=derivative[f] pada kotak Input, tekan ENTER. Apa yang Anda amati tentang grafik turunan fungsi f ini?

14.   Warnai merah grafik f’ lalu gerakkan titik A.

15.   Apa yang dapat Anda katakan tentang hubungan grafik turunan f dan jalur yang dijejaki oleh titik D?

16.  Bagaimana cara menentukan hubungan persamaan garis singgung, kemiringannya, turunan fungsi f dan jalur yang dijejaki oleh titik D?

17.  Berdasarkan hal di atas, dapatkah Anda jelaskan hubungan antara turunan suatu fungsi pada titik tertentu dan turunannya secara umum?

-->

Menggambar Grafik Fungsi dan Ciri-ciri Unsurnya

Dengan menggunakan GeoGebra dapat digambarkan grafik fungsi beserta ciri-cirinya, antara lain: titik kritis (minimum, maksimum, titik belok, akar), turunan, dan garis singgungnya.

Berikut ini salah satu contoh untuk hal tersebut.

    

Petunjuk:

1.        Buka GeoGebra, tampilkan Algebra view dan sumbu koordinat.

2.      Pada kotak Input, tulislah f(x)=x^3-3x-1 lalu tekan ENTER.

3.  Untuk menentukan akar (pembuat nol, titik potongnya dengan sumbu X) dari fungsi f, tulislah Root[f] lalu tekan ENTER. Berapa buah titik potongnya dengan sumbu X?

4.  Untuk menentukan titik minimum dan maksimum dari fungsi f, tulislah Extremum[f] lalu tekan ENTER. Berapa buah titik ekstrim yang diperoleh?

5.     Untuk menentukan titik belok dari fungsi f, tulislah InflectionPoint[f] lalu tekan ENTER.

6.    Untuk menggambarkan grafik dari turunan fungsi f, tulislah Derivative[f] lalu tekan ENTER. Secara otomatis GeoGebra akan menamai turunan fungsi f sebagai f'. Bandingkan grafik f dan grafi f', apa pendapat Anda?

7.   Untuk membuat garis singgung di suatu titik pada kurva f, buatlah satu titik dengan menggunakan New Point. Titik ini bernama G (bila diinginkan, gantilah dengan nama lain).

8.      Buatlah garis singgung kurva di titik G dengan menggunakan Tangents.

-->

Lebih lanjut tentang Grafik Fungsi

Kita dapat menuliskan y atau p(x) pada persamaan fungsi, sehingga persamaan fungsi dapat dituliskan dengan f(x)=2x, s(x)=x^2+1, dan y=1-x^3.

Untuk persamaan fungsi sinus, kosinus, tangen dituliskan sebagai berikut: f(x)=sin(x), g(x)=cos(x), dan f(x)=tan(x), sedangkan untuk sekan, kosekan, dan kotangen harus dituliskan dengan q(x)=1/cos(x), r(x)=1/sin(x), dan s(x)=1/tan(x).

Untuk persamaan fungsi y = | x | harus dituliskan dengan y=abs(x).

Untuk persamaan fungsi pangkat dan fungsi logaritma dituliskan dengan f(x)=e^x dan g(x)=ln(x).

-->