File 13: Konstruksi garis singgung Lingkaran (Tangents to a Circle)

File 11: Konstruksi Lingkaran-Luar Segitiga (Circumscribed Circle of a Triangle)

Mengarsir Daerah Irisan dari Dua Lingkaran

Bagaimanakah cara membuat arsiran dari irisan dua lingkaran ?

Langkah-langkah konstruksi:

	Buatlah lingkaran berpusat di titik A dan melalui titik B. Lingkaran ini bernama c.
	Buatlah lingkaran berpusat di titik C dan melalui titik D yang memotong lingkaran c. Lingkaran kedua ini bernama d.
	Tentukan titik potong dari kedua lingkaran. Kedua titik potong ini bernama E dan F.
	Sembunyikan titik B dan D.
	Buatlah busur pada lingkaran c, melalui titik E dan F. Busur ini bernama e. Pada jendela aljabar klik kanan e>Object Properties>Color, pilih Opacity ke skala 100>Style, Filling, pilih Hatch dan ubah Spacing ke skala 5.
	Buatlah busur pada lingkaran d, melalui titik E dan F. Busur ini bernama f. Pada jendela aljabar klik kanan f>Object Properties>Color, pilih Opacity ke skala 100>Style, Filling, pilih Hatch dan ubah Spacing ke skala 5.
	Sembunyikan titik A, C, E, dan F.

Workshop 2 - Konstruksi Garis Singgung Lingkaran (Tangents to a Circle)

Berikut ini adalah cara membuat garis singgung terhadap lingkaran dari sebuah titik di luar lingkaran.


Bagaimana jika mouse dan touchpad tidak berfungsi?
Bayangkan bila salah satu atau kedua alat tersebut tidak berfungsi pada saat Anda sedang membuat file GeoGebra untuk pembelajaran besok. Bagaimanakah cara agar file konstruksi tersebut dapat diselesaikan?
GeoGebra menawarkan masukan (input) aljabar dan perintah (commands), selain alat-alat geometri. Setiap alat memiliki perintah yang bersesuaian, oleh karena itu dapat diterapkan dengan tanpa menggunakan mouse.

Catatan:
GeoGebra menawarkan lebih banyak perintah daripada alat-alat geometri. Oleh karena itu, tidak setiap perintah memiliki alat geometri yang bersesuaian.

Tugas:
Periksalah daftar perintah sebelah kotak input dan carilah perintah yang sesuai dengan alat yang sudah Anda kenal.

Tentu saja konstruksi garis singgung lingkaran dapat dilakukan dengan menggunakan alat-alat konstruksi geometris. Tetapi kali ini konstruksinya akan dibuat dengan hanya menggunakan input keyboard.




Persiapan
o  Buka file GeoGebra baru.
o  Tampilkan jendela aljabar dan kotak input, serta sumbu koordinat (menu View).

Petunjuk
A=(0,0) Membuat titik A.
                          Petunjuk: Tanda kurung tutup sudah disediakan oleh GeoGebra.
(3,0) Membuat titik B.
                          Petunjuk: Jika nama objek tidak dituliskan maka penamaan dilakukan oleh GeoGebra secara alfabetis.
Circle[A,B]  Membuat lingkaran berpusat di A dan melalui B.
                           Petunjuk: GeoGebra menamai kurva ini dengan c.
                           Lingkaran adalah objek yang bergantung pada objek lain (dependent object).
Catatan:
                           GeoGebra membedakan antara objek bebas (free object) dan objek yang bergantung pada objek lain
                           (dependent object). Objek bebas dapat langsung diubah (modified) baik dengan menggunakan
                           mouse maupun keyboard, sedangkan objek dependen beradaptasi dengan perubahan objek induknya.
                           Dengan demikian, tidak terkait langsung dengan objek yang mengawalinya.

Tugas 1:
                           Aktifkan Move dan klik ganda objek pada jendela aljabar untuk mengubah pernyataan aljabar
                           dengan menggunakan keyboard. Tekan tombol Enter setelah Anda selesai.

                           Tugas 2:
                           Anda dapat menggunakan tombol panah untuk memindahkan objek bebas dengan cara yang lebih terkendali.
                           Aktifkan Move dan pilih objek (misalnya, titik yang bebas). Tekan tombol panah ke atas/bawah atau ke kiri/
                            kanan panah untuk memindahkan objek ke arah yang diinginkan.

(5,4) Membuat titik C.
Segment[A,C]  Membuat ruas garis AC. Ruas garis ini bernama s.
Midpoint[s] Membuat titik tengah pada ruas garis AC. Titik ini bernama D.
Circle[D,C] Membuat lingkaran berpusat di D dan melalui C. lingkaran ini bernama d.
Intersect[c,d] Membuat titik potong kedua lingkaran. Titik ini bernama E dan F.
Line[C,E] Membuat garis singgung melalui titik C dan E.
Line[C,F] Membuat garis singgung melalui titik C dan F.

Memeriksa dan memperkaya konstruksi
o  Lakukan uji seret (drag-test) untuk memeriksa kebenaran konstruksi.
o  Ubah sifat-sifat (properti) objek untuk memperkaya penampilan konstruksi (misalnya warna, ketebalan garis, dll).
o  Simpan konstruksi.

-->

Buah Jeruk

Dalam sudut pandang geometri bidang (plane geometry), buah jeruk adalah objek berbentuk Epicycloid.

Petunjuk:

1.        Buka Geogebra. Bila diperlukan, tampilkan jendela Aljabar dan sumbu koordinat.

2.      Pastikan penamaan otomatis hanya untuk titik. Pilih Option>Labeling>New Points Only.

3.      Buatlah titik A pada titik asal (0, 0). Pada kotak Input tulislah A=(0,0) lalu tekan ENTER.

4.      Buatlah titik B pada titik asal (0, 1). Pada kotak Input tulislah B=(0,1) lalu tekan ENTER.

5.      Buatlah lingkaran berpusat di A dan melalui B. Pilih Circle with Centre through Point, klik A, lalu klik B.

6.      Titik B akan diputar terhadap A, maka buatlah slider. Pilih Slide>Angle>Name, ganti dengan nama a>Apply.

7.     Putarlah titik B terhadap A. Pilih Rotate Object around Point by Angle lalu klik B, klik A, lalu pada kotak dialog gantilah besar sudutnya dengan a dan pilih counterclockwise, lalu klik OK. Oleh rotasi ini diperoleh titik B’.

8.      Buatlah sinar AB’ untuk panduan. Pilih Ray through Two Points lalu klik A dan klik B.

9.      Buatlah lingkaran berjari-jari sepanjang AB dan berpusat di B’. Pilih Compass lalu klik A, klik B, dan klik B’.

10.  Tentukan titik potong sinar dan lingkaran berpusat di B’. Pilih Intersect Two Objects lalu klik sinar dan klik lingkaran itu. Diperoleh dua titik, yaitu C=A dan D.

11.  Akan dibuat lingkaran yang akan menggelinding pada lingkaran berpusat di A. Agar lingkaran ketiga ini berukuran lebih kecil maka buatlah titik tengah dari ruas garis B’D. Pilih Midpoint or Center lalu klik B’ dan klik D, maka diperoleh titik E.

12.   Buatlah lingkaran berpusat di E dan melalui B’. Pilih Circle with Centre through Point, klik E, lalu klik B’.

13.   Sembunyikan dulu beberapa objek dari bidang grafik, yaitu sinar AB’, lingkaran berpusat di B’, titik A, titik B, dan titik D.

14.   Putarlah titik B’ terhadap E. Pilih Rotate Object around Point by Angle lalu klik B’, klik E, lalu pada kotak dialog gantilah besar sudutnya dengan a dan pilih counterclockwise, lalu klik OK. Oleh rotasi ini diperoleh titik B’’.

15.   Sembunyikan titik B’ lalu klik kanan titik B’’>Object Properties>Basic>centang kotak Show Trace>tutup kotak dialog.

16.   Nah, terakhir, aturlah hiasan untuk penampilan yang diinginkan, misalnya warna dan ketebalan garis, atau yang lainnya.

-->

Animasi Hypocycloid

Hypocycloid adalah kurva khusus yang dihasilkan oleh jejak titik tetap dari lingkaran kecil yang menggelinding pada lingkaran yang lebih besar, seperti halnya cycloid yang menggelindingkan lingkaran sepanjang garis.

Klik tombol Play/Pause di pojok kiri-bawah

Petunjuk:

1.        Buka Geogebra, tampilkan jendela Aljabar dan sumbu koordinat.

2.      Buatlah titik A pada titik asal (0, 0). Pilih Intersect Two Objects lalu klik kedua sumbu koordinat.

3.      Buatlah lingkaran berpusat di A dan berjari-jari 3. Pilih Circle with Centre through Point, klik A, lalu klik titik (3, 0). Titik ini bernama B.

4.      Buatlah lingkaran berpusat di A dan berjari-jari 2. Pilih Circle with Centre through Point, klik A, lalu klik titik (2, 0). Titik ini bernama C.

5.  Dengan menggunakan Segment between Two Points buatlah ruas garis AB, lalu sembunyikan kedua sumbu koordinat.

6.    Titik B akan diputar terhadap A, maka buatlah slider. Pilih Slider>Angle>Name, tulislah p>Animation, gantilah Speed dengan 3>Repeat, pilih Increasing>Apply.

7.     Putarlah titik B terhadap A. Pilih Rotate Object around Point by Angle lalu klik B, klik A, lalu pada kotak dialog gantilah besar sudutnya dengan p dan pilih counterclockwise, lalu klik OK. Oleh rotasi ini diperoleh titik B’.

8.     Buatlah ruas garis AB’, lalu tentukan titik potongnya terhadap lingkaran kedua. Titik ini bernama D.

9.      Sembunyikan semua objek ini: ruas garis AB’, lingkaran kedua, ruas garis AB, titik A, B, dan C.

10.  Buatlah ruas garis B’D, lalu buatlah lingkaran berpusat di D dan melalui B’ dengan menggunakan Circle with Centre through Point.

11.   Titik B’ akan diputar terhadap D, maka buatlah slider. Pilih Slider>Angle>Name, tulislah q>Animation, gantilah Speed dengan 9>Repeat, pilih Increasing>Apply.

12.   Putarlah titik B’ terhadap D. Pilih Rotate Object around Point by Angle lalu klik B’, klik D, lalu pada kotak dialog gantilah besar sudutnya dengan q dan pilih clockwise, lalu klik OK. Oleh rotasi ini diperoleh titik B’’.

13.   Sembunyikan titik B’ lalu klik kanan titik B’’>Basic>centang kotak Show Trace>tutup kotak dialog.

14.   Sembunyikan nama titik B’’ dan D.

15.  Sekarang akan dijalankan animasinya. Pastikan dulu agar kedua slider menunjukkan nilai 0, lalu bila perlu, geser objek yang telah dibuat dengan menggunakan Move Graphics View.

16.   Gantilah warna sesuai selera, bila diperlukan.

-->

Menggelindingkan Lingkaran

Bagaimana cara menggelindingkan lingkaran (cycloid)?



Petunjuk:
1. Buka Geogebra, tampilkan jendela Aljabar dan sumbu koordinat.
2. Buatlah titik A pada titik asal (0, 0). Pilih Intersect Two Objects lalu klik kedua sumbu koordinat.
3. Buatlah titik B pada sumbu Y. Pilih New Point lalu klik sumbu Y.
4. Buatlah sinar AB. Pilih Ray through Two Points lalu klik A dan klik B.
5. Sembunyikan saja titik B. Klik kanan pada B lalu pilih Show Object.
6. Kita akan menggunakan sinar (bukan sumbu Y), maka sembunyikan juga sumbu Y. Klik kanan pada sumbu
        Y>Graphics>yAxis dan hilangkan centang pada Show Axis>tutup kotak dialog.
7. Buatlah titik C pada sinar. Pilih New Point lalu klik sinar AB.
8. Langkah 1 s.d. 7 bertujuan agar titik C terletak pada sumbu Y positif karena titik A akan digunakan sebagai titik awal. Jika
        langsung digunakan titik B (tanpa menggunakan sinar) maka titik B dapat bergerak bebas kea arah sumbu Y negatif.
9. Sekarang kita tentukan besar (ukuran) rotasi untuk lingkaran. Pilih Slider>klik pada bidang grafik di tempat yang
        diinginkan>pilih Angle lalu ganti namanya dengan t>klik Apply. (Pastikan nilai interval Min: 0 , Max: 360 , dan
        Increment: 1 .)
10. Karena s = rθ dengan s adalah busur lingkaran berjari-jari r dan bersudut pusat θ, maka definisikan jari-jarinya. Pada
        kotak Input tulislah r=Distance[A, C] lalu tekan ENTER.
11. Selanjutnya mendefinisikan sudut θ dalam radian. Pada kotak Input tulislah θ (t/°)*(pi/180) lalu tekan ENTER.
12. Sekarang definisikan panjang busurnya. Pada kotak Input tulislah s=r*θ lalu tekan ENTER. (Lambang θ dapat dicari pada
        kotak di ujung kotak Input.)
13. Definisikan titik pusat lingkaran. Pada kotak Input tulislah P=(s,y(C)) lalu tekan ENTER.
14. Buatlah lingkaran berpusat di P dan berjari-jari r. Pilih Circle with Center and Radius lalu klik P dan tulislah r pada
        kotak dialog lalu tutup kotak dialog.
15. Buatlah titik potong antara lingkaran dan sumbu X. Pilih Intersect two Objects lalu klik lingkaran dan sumbu X. Titik ini
        bernama D. Titik D merupakan posisi awal dari titik yang diputar.
16. Sekarang putarlah titik D. Pilih Rotate Object around Point by Angle klik D, klik P, lalu gantilah sudut putarnya dengan
        t, pilih clockwise, dan klik Apply. Titik hasil pemutaran (rotasi) itu bernama D'.
17. Geserlah slider t, apa yang Anda amati?
18. Buatlah busur DD'. Pilih Circular Arc with center Between Two Points lalu klik P, klik D, dan klik D'
19. Agar tampak mencolok, ubahlah warna busur DD'. Klik kanan pada busur itu>Object Properties>pilih Conic d>Color,
        lalu klik warna sesuai selera>Style, lalu geser ukuran Line Thickness ke angka 6>tutup kotak dialog.
20. Untuk mengetahui seberapa jauh titik D' telah melakukan perjalanan sepanjang keliling lingkaran searah jarum jam, atau
        untuk mengetahui berapa kurangnya keliling lingkaran oleh busur d, maka pada kotak Input tulislah
        d'=Circumference[c]-d lalu klik ENTER. (c adalah nama kurva lingkaran.)
21. Sembunyikan dulu nama titik D. Pada D klik kanan lalu pilih Show Label.
22. Buatlah ruas garis sepanjang d' yang berawal dari titik A. Pilih Segment with Fixed Length lalu klik A, dan pada kotak
        dialog tulislah panjangnya d', lalu klik OK. Ruas garis ini berujung di titik E.
23. Agar tampak jelas dan sama dengan busur DD', salinlah busur tersebut. Pilih Copy Visual Style lalu klik busur DD', dan
        klik ruas garis AE.
24. Sembunyikan nama titik D'. Pada D' klik kanan lalu pilih Show Label.
25. Hampir selesai, tapi masih ada masalah. Coba geser slider ke 0 derajat, ruas garis AE tampak membentang. Ini hanya
        terjadi untuk t = 0, untuk itu harus ditetapkan kondisi untuk menampakkan ruas garis AE hanya ketika t = 0. Untuk
        melakukan ini, klik kanan b (yaitu ruas garis AE)>Object Properties>Advanced>pada kotak Condition to Show Object
        tulislah t≠0>tutup kotak dialog.
26. Sembunyikan nama semua titik. Pada tiap titik klik kanan lalu pilih Show Label.

-->

Pendekatan terhadap Luas Daerah Lingkaran

Di dalam lingkaran dilukis segibanyak (polygon) beraturan. Semakin banyak jumlah sisi segibanyak itu maka luas daerahnya akan semakin mendekati luas daerah lingkaran.

Strategi ini digunakan oleh matematikawan Yunani, Archimedes.

Petunjuk:

1.        Buka Geogebra, tampilkan jendela Aljabar dan sumbu koordinat.

2.   Agar setiap objek yang dibuat dalam konstruksi ini langsung diberi nama, maka pastikan dengan memeriksa Option>Labeling>All New Objects.

3.      Buatlah ukuran jari-jari dengan menggunakan Slider. Beri nama r dan tetapkan Min: 0.1, Max: 5, Increment: 0.1.

4.   Buatlah banyak sisi poligon dengan menggunakan Slider. Beri nama n dan tetapkan tetapkan Min: 3, Max: 30, Increment: 1.

5.      Buatlah titik A pada titik asal koordinat dengan menggunakan Intersect Two Objects.

6.  Buatlah konstruksi lingkaran yang berpusat di A dan berjari-jari r dengan menuliskan circle[A, r] pada kotak Input, lalu tekan ENTER. Gerakkan slider r untuk mengamati apa yang terjadi.

7.   Buatlah titik B pada lingkaran yang juga sebagai titik potong lingkaran terhadap sumbu X. Pada kotak Input tulislah B=(r,0) lalu tekan ENTER.

8.   Untuk membuat sudut pusat dari poligon, kita bagi 360 dengan n. Tetapkan itu dengan menuliskan a=(360/n)° pada kotak Input, lalu tekan ENTER. Perintah ini meminta GeoGebra untuk menggunakan a sebagai ukuran sudut. Tanda derajat dapat dicari dengan mengklik lambang a di ujung kanan kotak Input.

9.   Buatlah sudut pusat BAB’ dengan menggunakan Angle with Given Size. Klik B, klik A, lalu pada kotak dialog tuliskan a untuk besar sudut dan klik OK.

10.   Sembunyikan ukuran sudut yang baru dibuat tersebut. Klik kanan lalu klik Show Object.

11.     Buatlah konstruksi poligon dengan menuliskan Regular Polygon. Klik B, klik B’, lalu pada kotak dialog tuliskan n untuk banyak titik sudutnya dan klik OK. Gerakkan slider n untuk mengamati apa yang terjadi.

12. Sembunyikan semua nama titik pada poligon. Klik kanan pada poligon>Object Properties>Basic>Point (pada kotak objek, pinggir kiri)>hilangkan centang pada Show Label. Demikian pula untuk nama ruas garis, klik Segment (pada kotak objek, pinggir kiri)>hilangkan centang pada Show Label. Klik Close.

13.  Terakhir, cobalah Anda buat dan tampilkan teks yang menunjukkan luas daerah lingkaran dan poligon sesuai dengan perubahan nilai variabel ketika kedua slider digerakkan, seperti tampak pada applet di atas.

-->